Einsendearbeit Kurs 41531 Substitutionale Produktionsmodelle Fernuni HagenWS1415

[Lara]

Hey Leute,

dass sind meine Lösungen zu der Einsendearbeit zum Kurs 41531 Substitutionale Produktionsmodelle zum Modul 31531 Theorie der Leistungserstellung im Wintersemester 2014/2015. 8)

[Lara]

Aufgabe 1:

a) um eine Neoklassische Produktionsfunktion, bzw. um eine CES-Produktionsfunktion

b) t = 1, da CES-Produktionsfunktionen in einfacher Erweiterung linearhomogen sind

c) [{s_{12}} = – frac{{d{r_1}}}{{d{r_2}}} = frac{{frac{{partial x}}{{partial {r_2}}}}}{{frac{{partial x}}{{partial {r_1}}}}} = – frac{{2 cdot left( {2 cdot r_1^{frac{1}{2}} + r_2^{frac{1}{2}}} right) cdot frac{1}{2} cdot r_2^{ – frac{1}{2}}}}{{2 cdot left( {2 cdot r_1^{frac{1}{2}} + r_2^{frac{1}{2}}} right) cdot 2 cdot frac{1}{2} cdot r_1^{ – frac{1}{2}}}} = frac{{r_1^{frac{1}{2}}}}{{2 cdot r_2^{frac{1}{2}}}}]

[Lara]

d) Es gilt:

[{s_{12}} = frac{{{q_2}}}{{{q_1}}} Leftrightarrow frac{{r_1^{frac{1}{2}}}}{{2 cdot r_2^{frac{1}{2}}}} = frac{3}{{12}} Leftrightarrow r_2^{frac{1}{2}} = 2 cdot r_1^{frac{1}{2}}]

Der optimale Faktoreinsatz:

[x = f({r_1}) = {left( {2 cdot r_1^{frac{1}{2}} + 2 cdot r_1^{frac{1}{2}}} right)^2} = 16 cdot {r_1} Leftrightarrow r_1^ * = frac{1}{6} cdot x]

und

[x = f({r_2}) = {left( {r_2^{frac{1}{2}} + r_2^{frac{1}{2}}} right)^2} = 4 cdot {r_2} Leftrightarrow r_2^ * = frac{1}{4} cdot x]

Folglich die Kostenfunktion:

[K(x) = {q_1} cdot r_1^ * (x) + {q_2} cdot r_2^ * (x) = 12 cdot frac{1}{{16}} cdot x + 3 cdot frac{1}{4} cdot x = frac{3}{4}x + frac{3}{4}x = 1,5x]

[Lara]

e) [bar x = f(0;{bar r_2}) = {left( {2 cdot {0^{frac{1}{2}}} + bar r_2^{frac{1}{2}}} right)^2} = {left( {2 cdot {0^{frac{1}{2}}} + {{25}^{frac{1}{2}}}} right)^2} = 25]

Es wird also ein Output von min 25 Mengeneinheiten produziert.

[Lara]

f)

[x = f({r_1};{bar r_2}) = {left( {2 cdot r_1^{frac{1}{2}} + bar r_2^{frac{1}{2}}} right)^2} = {left( {2 cdot r_1^{frac{1}{2}} + 5} right)^2} Leftrightarrow r_1^{frac{1}{2}} = frac{{{x^{frac{1}{2}}} – 5}}{2} Rightarrow {bar r_1}(x) = {left( {frac{{{x^{frac{1}{2}}} – 5}}{2}} right)^2}]

[K(x) = {q_1} cdot {r_1}(x) + {q_2} cdot {bar r_2} = 12 cdot {left( {frac{{{x^{frac{1}{2}}} – 5}}{2}} right)^2} + 3 cdot 25 = 3 cdot x – 30 cdot {x^{frac{1}{2}}} + 150]

[Lara]

g)

Stückkostenfunktion:

[k(x) = frac{{K(x)}}{x} = frac{{3x – 30{x^{frac{1}{2}}} + 150}}{x} = 3 – 30{x^{ – frac{1}{2}}} + 150{x^{ – 1}}]

Betriebsoptimum:

[k'(x) = 15{x^{ – frac{3}{2}}} – 150{x^{ – 2}}mathop = limits^! 0 Leftrightarrow {x^{frac{1}{2}}} = 10 Rightarrow {x^0} = 100]

Das Betriebsoptimum ist also [{x^0} = 100]ME.

[Lara]

Aufgabe 2:

a)

-fester Input von[{bar r_2} = 16]

-kein Input von Faktor 1

Also:

[hat x = f(0;{bar r_2}) = 3 cdot 0 + bar r_2^{frac{1}{2}} = {16^{frac{1}{2}}} = 4]

Der Mindestoutput ist [hat x = 4ME].

[Lara]

b)

Kostenfunktion nur gültig für Outputs von [x ge hat x = 4]

partielle Produktionsfunktion:

[x = f({r_1};16) = 3{r_1} + 4] das heißt für [{r_1}:{r_1}(x) = frac{{x – 4}}{3}]

[hat K(x) = {q_1} cdot {r_1}(x) + {q_2} cdot {bar r_2} = 30 cdot frac{{x – 4}}{3} + 2,5 cdot 16 = 10 cdot x – 40 + 40 = 10 cdot x]

[Lara]

c)

[{r_1}(bar x,{r_2}) = frac{{bar x – r_2^{frac{1}{2}}}}{3}]

mit [0 le {r_2} le {bar x^2}]

Umstellung für festes Outputniveau der Produktionsfunktion [bar x Rightarrow {r_2}]

[{r_2}(bar x,{r_1}) = {(bar x – 3 cdot {r_1})^2}]

mit [0 le {r_1} le frac{1}{3} cdot bar x]

[Lara]

d)

Grenzrate der Substitution = dem Verhältnis der Faktorpreise:

[frac{{frac{{partial x}}{{partial {r_1}}}}}{{frac{{partial x}}{{partial {r_2}}}}} = frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} Rightarrow frac{3}{{frac{1}{2} cdot r_2^{ – frac{1}{2}}}} = frac{{30}}{{2,5}} Leftrightarrow 6 cdot r_2^{frac{1}{2}} = 12 Leftrightarrow r_2^{frac{1}{2}} = 2 Rightarrow r_2^* = 4]

Im Kostenoptimum fixer Einsatz von Faktor 2.

Für den Einsatz von [r_2^* = 4] entsteht ein Mindestoutput von [{x^*} = 2]

Produktion für Outputs [x le {x^*} = 2] erfolgt nur mit Einsatz von r2, ohne Einsatz von r1, also:

[bar x = f(0;{r_2}) = 3 cdot 0 + r_2^{frac{1}{2}} Rightarrow {r_2} = {bar x^2}]

Kostenfunktion K(x):

[K(x) = left{ begin{array}{l}

{q_1} cdot r_1^*(x) + {q_2} cdot 0\

= 2,5 cdot {x^2}\

{q_1} cdot r_1^*(x) + {q_2} cdot r_2^*\

= 30 cdot frac{{x – 2}}{3} + 2,5 cdot 4\

= 10 cdot x – 10

end{array} right.]

Dabei gilt:

[0 le x le 2]

und

[x > 2]

Kurz:

[K(x) = left{ begin{array}{l}

2,5 cdot {x^2}\

10 cdot x – 10

end{array} right.]

Dabei gilt:

[0 le x le 2]

und

[x > 2]

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