Bestimmtes Integral berechnen

[Elisabeth]

Hallo zusammen,

ich schon wieder.

Man soll die zwischen der x-Achse und der Funktion

f(x)=ln(x)/x eingeschlossenen Fläche im Intervall (1;e)

Mit dem Taschenrechner komme ich auf 0,5 , aber zu Fuß klappts nicht. Ich habe es mit der partiellen Integration versucht, v´ hatte ich x^-1. Irgendwas mache ich falsch,

kann man vielleicht noch vereinfachen?

was mache ich eigentlich mit den Grenzen bei der partiellen Integration?

Vielen Dank im voraus

Lisa

[rolf]

Hallo Elisabeth,

Das bekommen wir hin ;)

Wir können diese Aufgabe entweder mit part. Integration lösen oder mit der Substitutionsregel (übrigens im Skript Analysis KV ab Seite 66).

Wenn wir die partielle Regel nutzen, dann haben wir zwei Möglichkeiten, u´ und v festzulegen. Setzen wir u´=ln x wird uns das nicht soviel weiterhelfen, denn wir brauchen dann die Stammfunktion von ln x, Setzen wir aber u´=1/x und v=ln x, sollte es klappen.

Das stimmt also schon, wenn man x^-1 als u´ festsetzt.

Das Integral ln x *1/x ist dann gleich

(ln x * ln x) – Int(lnx * 1/x)

Hier können wir umstellen zu:

2 * Int(ln x *1/x) = (ln x)^2

Teilen wir noch durch 2 erhalten wir:

Int (ln x *1/x) = 0,5(ln x)^2

Jetzt setzen wir zuerst die obere Grenze e ein und erhalten:

0,5*(ln e)^2 = 1/2

Setzen wir noch die untere Grenze ein:

0,5*(ln 0)^2 = 0

Die Differenz ist 1/2 – 0 und damit 1/2.

Einverstanden?

Viele Grüße

Rolf

[rolf]

Skript Analysis KV ist das Vorlesungsskript zu KLausurvorbereitung Analysis

[Elisabeth]

Hallo Rolf,

ich habe eigentlich richtig gerechnet, nur 1/ x falsch integriert und zwar nicht in ln(x) sondern in

-1/2 x^-2. Wollte es halt selbst nachrechnen. Irgendwie “vergesse” ich immer, daß es auch ln(x) sein kann. Gibts da irgendeine Richtlinie, wann man wie1/x integriert?

Vielen Dank nochmals, ich kam einfach nicht auf den Feler, weil formal schien alles zu stimmen.

LG Elisabeth

[Rolf]

Hallo Elisabeth,

Also wenn man -1/2x^-2 ableitet, erhält man

-1/2 * -2 * x^-2-1 = -x^-3

Daher ist -1/2x^-2 keine Stammfunktion von x^-1

Meinst du das?

Die Stammfunktion von 1/x ist ln(x)+c, ganz genau. Nur wenn wir x auch negativ zulassen, muss es heißen ln(betrag(x))+c

lg rolf

[Elisabeth]

Ah genau,

stimmt, also habe ich da eben komplett falsch integriert.

So langsam sehe ich vor lauter Bäumen den Wald nicht…

Nochmal dank

LG Elisabeth

[Rolf]

Kleiner Tipp:

In der Analysis Vorlesung haben wir eine Tabelle der Grundintegrale…ich würde die echt auswendig lernen. In der Klausur ist man so nervig, dass man selbst die billigsten Sachen falsch macht. Und wenn man dann das Fundament hat, kann schon weniger passieren

Und zweiter Tipp:

Immer die Probe machen! Immer nochmal auf Schmierpapier ableiten und schauen, ob alles so passt, was man integriert hat. Braucht zwar ein paar Sekunden, aber so minimiert man die Fehlerzahl deutlich.

LG!

[Autor]

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