Foren › A-Module Wirtschaftswissenschaft Fernuni Hagen › Grundlagen Wirtschaftsmathematik und Statistik › Musterlösung zu Klausur Wirtschaftsmathe März 2011
Schlagwörter: 31101, 40600, Fernuni Hagen, Grenzwerte, Klausur, Mathe, Uebungsklausuren, Wirtschaftsmathematik
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26. März 2011 um 14:33:00 Uhr #107123
Hallo, anbei die Lösungen zur Klausur vom März 2011:
Aufgabe 1:
a) ist richtig, beide Male ist die Norm gleich 5
b) ist richtig, siehe a)
c) ist richtig, beide Male ist die Norm gleich 3
d) ist richtig, beide Male ist die Norm gleich 1 und die Wurzel von 1 ist gleich 1
e) ist falsch, Ergebnis = 3*Wurzel(2)
Aufgabe 2:
a) ist falsch, statt „-100“ müsste es „+100“ heißen
b) ist falsch, die dritte Ableitung ist gleich 600/x^4
c) ist falsch, die zweite Ableitung ist gleich – 200/x^3
d) ist falsch, es müsste +200 lauten
e) ist richtig: -200/10^3 = -200/1000 =-0,2
Aufgabe 3:
a) ist richtig
b) ist richtig
c) ist richtig
d) ist falsch, Grenzwert = 1/4e
e) ist falsch, Grenzwert = – unendlich
Aufgabe 4:
a) richtig
b) richtig
c) falsch
d) falsch
e) richtig, siehe a)
Aufgabe 5:
a) ist falsch
b) ist falsch
c) ist richtig
d) ist falsch
e) ist richtig
Aufgabe 6:
a) richtig
b) richtig
c) falsch
d) falsch, er erhöht sich um 7,5 Einheiten
e) richtig, siehe d)
Aufgabe 41:
x=150 – Gewinn ausrechnen!
Aufgabe 42:
Grenzwert = 2
Aufgabe 43:
Abstand = 5
Aufgabe 44:
x=0
26. März 2011 um 21:09:13 Uhr #108785EyMyFriend1.d hab ich auch angekreuzt, dann aber auf den lotsebogen geschrieben, dass ich d nicht angekreuzt haben will…
auf der linken seite der gleichung steht ja betrag von 1 und das ist 1, ok!
aber auf der rechten seite steht betrag von 1 ist auch 1, ok! aber dann noch die wurzel, ergibt doch 1 und -1
und dann könnte es ja heissn 1=-1 und das ist falsch
oder was meinen Sie?
und ne andere frage, habe ich das bewertungssystem richtig verstandn: wenn bei einer aufgabe nur a richtig ist und ich hab nur b angekreuzt, krieg ich dann 1 von 5 punkten? weil 2 mal minus und 3 mal pluspunkt
danke!
27. März 2011 um 09:09:38 Uhr #108786Hallo,
Bei 1d) muss man echt vorsichtig sein. links steht wie Sie völlig richtig sagen die 1. Genauso rechts unter der Wurzel.
Nun haben wir also 1=Wurzel(1), einverstanden?
Die Wurzel von eins ist nun eindeutig definiert – sie ist gleich 1. Nicht verwechseln mit Gleichungen wie zb Betrag(x)=1 oder x^2=1…diese haben auch -1 als Lösung.
Aber eine Wurzel ist immer eindeutig bestimmt und daher erhalten wir 1=1, also eine wahre Aussage.
Zum Bewertungssystem: ich habe leider das Deckblatt nicht vorliegen, aber bislang war es wenn ich mich recht erinnere so, dass bei drei richtigen Antworten man einen Punkt noch erhält. Bei vier richtigen Antworten dann drei Punkte und 5 Punkte, wenn alles passt. Vielleicht hat zufällig jemand das Deckblatt und kann schnell nachschaun, ob das noch so ist :)
Schönen Sonntag noch!
31. März 2011 um 08:00:20 Uhr #108788WuckertEs ist so. In einer 5 Punkte Aufgabe kriegst du für drei richtige 5 Punkte ( nicht angekreuzte sind auch die richtigen Antworten), für 4 richtige 3 Punkte und für 5 5 Punkte. Anders sieht es bei einer 10 Punkte Aufgabe: für 3 korrekt angekreuzten und für richtig nicht angekreuzten gibt es 2 Punkte, für 4 6 und für 5 10 Punkte zu vergeben.
31. März 2011 um 08:02:04 Uhr #108789Wuckertsorry, zweite Zeile 1 Punkt nicht 5
16. August 2011 um 19:21:57 Uhr #109112Hallo,
ich verstehe die Aufgaben mit den Grenzwerte (Nummer 3 und Nummer 42) überhaupt nicht.
Ich habe schon einige Aufgaben ohne Probleme gerechnet, aber hier steh ich voll auf dem Schlauch. Kann die jemand genau erklären? Das wäre super!
LG
Nadine
16. August 2011 um 21:12:21 Uhr #109113daniblHallo zusammen,
kann mir vielleicht noch mal jmd. erklären, wie man anhand der Rechteckregel bei einem LOP im Simplexalg. auf die Lösung kommt?
Pivotelement bestimmen ist mir klar, die Formel:
anzupassendes Element – Produkt der sich ergebenden Ecken/Pivotelement
verstehe ich auch aber welche Ecken nehme ich.
kann mir vielleicht jmd mal einen passenden Link schicken, wo ich mir das nochmal ansehen kann? oder wird das ggf. in der Klausurvorbereitung Mathe noch mal erläutert?
danke für eure Hilfe
17. August 2011 um 12:17:27 Uhr #109114Hallo Nadine, Hallo danibl
Fangen wir mit Aufgabe 3 an.
Wenn man einen Grenzwert berechnen soll, der aus einem Bruch besteht, “riecht” das immer schwer nach der Regel von de l´Hospital.
In A) sollen wir x gegen unendlich streben lassen. Da können wir mit de l´Hospital arbeiten (vgl. Folie 26 Vorlesung Analysis). Wichtig ist, dass e^x gegen unendlich strebt, wenn x gegen unendlich strebt. Genauso strebt (x^4 -2x^3 +x^2) gegen unendlich, wenn x gegen unendlich strebt. Dann gilt, dass lim e^x / (x^4 -2x^3 +x^2) = lim e^x / (4x^3 -2*3x^2 +2x). Wir haben einfach Zähler und Nenner abgeleitet. Allerdings hat sich der Zähler nicht verändert, da (e^x)´=e^x ist.
Nun sind wir eigentlich soweit wie vorhin. Immer noch können wir den Grenzwert lim e^x / (4x^3 -2*3x^2 +2x) nicht direkt angeben. Aber wir können nochmals die Regel von Hospital verwenden: Dann ist lim e^x / (12x^2 -2*3*2x^1 +2) = lim e^x / (12x^2 -12x +2)
Und nochmals wenden wir die Regel an:
lim e^x / (12x^2 -12x +2) = lim e^x / (24x -12)
und ein letztes Mal:
lim e^x / 24
Diesen Grenzwert können wir sofort angeben. Wenn x gegen unendlich strebt, strebt e^x gegen unendlich. A ist also richtig.
B) Diese Aufgabe war etwas schwerer. Hier kann man nämlich nicht (!) mit Hospital arbeiten. Denn der Zähler strebt gegen <strongt>Null, wenn man x gegen -unendlich streben lässt. Der Nenner jedoch strebt gegen unendlich, wenn x gegen -unendlich strebt. Versucht es einmal mit dem Taschenrechner nachzuvollziehen. EInfach einige Werte (negative!) für x einsetzen. Je kleiner x wird, umso eher geht e^x gegen Null. Das Nennerpolynom geht jedoch gegen unendlich. Was also nun tun?
Die allereinfachste Möglichkeit ist, sich zu überlegen, wie der Grenzwert sich verhält, wenn man einmal eine sehr große negative Zahl einsetzt. Nehmen wir etwa -1Mio.
e^x wird dann nahe Null sein, x^4-2x^3+x^2 wird sehr groß werden. Bilden wir den Quotienten, sind wir nahe Null. Versucht es einfach einmal. Taschenrechner ist ja in der Klausur erlaubt (für alle “Mathematiker”: Hier gehts um verstehen und nicht um beweisen ;))
C) Auch hier hilft Hospital nicht weiter. Denn der Zähler ist e^1 und der Nenner ist 0, wenn x gegen 1 strebt. Was also tun?
Wieder versuchen wir es ganz einfach. Der Zähler strebt also gegen e^1, der Nenner gegen Null, also muss der Kehrwert gegen unendlich streben (zb: 1/0,0001 = 10000). Damit strebt der Quotient gegen unendlich, also ist C) richtig.
D) Diesen Grenzwert kann man einfach berechnen, indem man -1 einsetzt. e^-1 = 1/e
(-1)^4 -2*(-1)^3 +(-1)^2 = 1 – 2*(-1) +1 = 1+2+1 = 4
Damit ist also das Produkt gleich (1/e) /4 bzw. 1/(4e)
E) Auch hier klappt Hospital nicht, denn der Zähler strebt gegen 1 ( für x gegen Null) und der Nenner strebt gegen 0 (für x gegen Null).
Also versuchen wir es wieder logisch: Den Zähler können wir als 1 annehmen (weil e^0 =1). Der Nenner wird sehr klein, also wird der Kehrwert sehr groß. Damit ist der Grenzwert bei +unendlich und nicht etwa bei -unendlich wie vorgegeben. Die Aussage ist also falsch.
17. August 2011 um 12:22:04 Uhr #109115Aufgabe 42:
Diese Aufgabe sieht viel schwerer aus als sie ist. Zuerst einmal: Wurzel(1) ist natürlich 1. Lasst euch also nicht ärgern ;)
Nun können wir sofort prüfen, ob de l´Hospital funktioniert. Die Zählerfunktion strebt gegen Null, wenn wir x gegen 1 einsetzen. Der Nenner aber auch!
Wir können Hospital verwenden!
Bilden wir die Ableitungen von Zähler und Nenner:
(x-1)´ =1
(Wurzel(x)-1)´ =1/ 2*Wurzel(x)
Damit haben wir also:
lim (x-1)/ Wurzel(x)-1 = lim 1/ 1/2*Wurzel(x) = lim 2*Wurzel(x)
Lassen wir x gegen 1 streben, strebt der Grenzwert gegen 2.
ok?
LG Claudia
Mentorin FU
17. August 2011 um 12:26:56 Uhr #109116Hallo Danibl,
Ich weiß nicht ganz, ob ich deine Frage richtig verstehe. Also das Pivotelement bestimmen ist kein Problem, richtig? Wir schauen in der Zielfunktionszeile nach dem negativsten Element, damit haben wir die Pivotspalte gefunden.
Die Pivotzeile finden wir, indem wir die rechte Seite durch die Elemente in der Pivotspalte teilen, sofern diese positiv sind. Dort wo der kleinste Quotient ist, haben wir die Pivotzeile.
Nun muss die Pivotspalte zur Einheitsspalte werden. Meinst du das? Wir addieren das vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile, um dort die “Null” hinzubekommen.
Meinst du das?
LG Claudia
Mentorin FU
21. August 2011 um 16:14:49 Uhr #109119JensHallo Claudia,
sehr gute Erklärung, jetzt hab ich es auch verstanden.
LG Jens
31. August 2011 um 07:00:50 Uhr #109124daniblHallo Claudia,
ich habe mal in der einzigen Präsenzveranstaltung die ich je besucht habe einen Trick gezeigt bekommen, die “Rechteckregel”.
“Nun muss die Pivotspalte zur Einheitsspalte werden. Meinst du das? Wir addieren das vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile, um dort die “Null” hinzubekommen.
Meinst du das?”
dieses System habe ich prinzipiell verstanden, denke aber dass ich das von der Zeit her in der Klausur nicht hinbekomme. diese Rechteckregel hatte sich viel schneller angesehen, aber leider habe ich diese nicht richtig verstanden und finde da im Netz auch nichts richtiges zu.
vielleicht kannst du mir da noch mal erklären, wie ich diese anwende?
dankeschön!
2. September 2011 um 07:25:43 Uhr #109125Hallo danibl,
Die Rechteckregel bezieht sich auf die Berechnung der restlichen Zahlenwerte in der neuen Simplextabelle, wenn man das Pivotelement gefunden hat. Dahinter steckt ansich nichts besonderes. Es ist genau die gleiche Vorgehensweise wie wir sie auch nutzen.
Mache dir wegen der Zeit in der Klausur nicht solche Gedanken, meist muss man nur einen Wert ausrechnen, das geht sehr schnell. GEwöhne dir bitte an, dass du
1.) die Pivotspalte suchst (dort wo Zielfunktionszeile negativst ist.
2.) die Pivotzeile suchst (dort wo Quotient aus Element in RHS und Pivotspalte am kleinsten ist (aber positiv!)
3.) das -xfache der Pivotzeile zur einer anderen Zeile hinzuaddierst, wenn in der anderen Zeile in der Pivotspalte ein x steht, damit dann dort Null steht.
Damit bist du eigentlich schon durch.
Übrigens macht Rolf in der Klausurvorbereitung Lineare Algebra noch eine Beispiele dazu, vielleicht helfen dir diese auch. Wie gesagt, es ist gar nicht schwer :)
lg Claudia
6. September 2011 um 10:38:24 Uhr #109131danibldanke Claudia,
ich warte noch mal auf die Vorlesung – danach wird mir sicher einiges klarer.
LG Dani
22. September 2011 um 09:44:51 Uhr #109165daniblHallo,
gibt es solch eine Musterlösung auch für die 2010-er Klausuren Mathe?
das wäre super, ich glaub ich schaffe nämlich nicht mehr alle meine Lösungen noch zu posten bis zum Prüfungstermin.
danke.
Danibl
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