Klausur SoSe 14 – 1c (Investition) – Schnittpunkt der Kapitalwertfunktionen

[Youssef]

Moin.

Dort (Aufgabe siehe Topic) sind die beiden Investitionsalternativen gegeben, deren interne Zinsfüße man bestimmt und dann die Kapitalwertfunktionen zeichnen soll. Die Schnittpunkte mit den Achsen sind ja absolut kein Drama, aber in den Lösungen der Folien von Fernstudium-Guide ist auch der Schnittpunkt der beiden Kapitalwertfunktionen miteiander gegeben.

Normalerweise bestimmt man einen Schnittpunkt zweier Funktionen ja durch Gleichsetzen, in diesem Fall ergibt sich aber eine Polynomfunktion 3. Grades, die sich mit gewöhnlichen Mitteln nicht auflösen lässt.

Wie muss ich hier vorgehen, um den Schnittpunkt zu bestimmen?

[FSGU Betreuer]

Hallo Youssef,

das ist eine gute Frage! Wir haben in der Klausurlösung ja diesen Schnittpunkt nicht bestimmt (um es nicht noch komplizierter zu machen, und für die Klausur wäre angeblich auch “c” ausreichend gewesen).

Rechnerisch geht man wie folgt vor:

Man hat die beiden Gleichungen (dieses Mal mit x und f(x)), welche man gleichsetzen muss, um den Schnittpunkt zu ermitteln:

$$f(x) = -1200 + \frac{740}{x} + \frac{428}{x^2} + \frac{231}{x^3} = -1300 + \frac{117}{x} + \frac{117}{x^2} + \frac{1417}{x^3}$$

Diese Gleichung kann man mit x^3 multiplizieren und gelangt zu
$$-1200x^3 + 740x^2 + 428x + 231 = -1300x^3 +117x^2 +117x +1417$$

[FSGU Betreuer]

Vereinfacht ergibt sich dann

$$100x^3 +623x^2 + 311x -1186 = 0$$

Um diese Gleichung zu lösen, gibt es zwar durchaus eine Lösungsformel, diese ist aber auch nicht ganz leicht:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Schneller geht es mit dem Newton-Verfahren:
https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Als Ergebnis erhält man unter anderem die Nullstelle 1,0787, also wäre der relevante Schnittpunkt-Zins bei 7,87%.

[FSGU Betreuer]

Noch ein kleiner Hinweis: Anhand der Grafik in den Lösungen auf Folie 83 kann man den Wert auch ungefähr ablesen. Hilft natürlich in der Klausur auch nicht wirklich, muss aber wie gesagt auch nicht sein.

[Autor]

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