EA Wirtschaftsmathe 40600 SS 2011 Aufgabe 5

[dani]

Das LGS hat keine Lösung, damit ist D) und E) richtig

[Jenny]

Jep, hätte man auch über die Determinante rausfinden können, richtig?

LG Jenny

[Ilka]

Ich komme leider mit dieser Aufgabe gar nicht klar. Kann mir vielleicht jemand den Loesungsweg aufschreiben?

Ich habe im 4. Tableau den Punkt (19, 7, 0) ausgerechnet. Setze ich diese Werte fuer x1, x2 und x3 ein, erhalte ich

bei der Ausgangsgleichung 3, 5 und -9. Besitzt die Gleichung keine Loesung weil der 3. Wert 0 ist und -9 statt 10 rauskommt?

[Claudia (Mentorin)]

Hallo Ilka,

Ansich kann man mittels der Determinante sehr schnell zeigen, dass das LGS nicht lösbar ist. Es geht aber auch ausführlich.

Das Gleichungssystem lautet (ich nutze x,y,z statt x1,x2,x3)

2x – 5y + 4z = 3

1x – 2y + 1z = 5

1x – 4y + 5z = 10

Umformen und sortieren (dabei sind die Variablen alphabetisch links und Konstanten rechts):

2x – 5y + 4z = 3

x – 2y + z = 5

x – 4y + 5z = 10

Stellen wir die Koeffizientenmatrix auf. Die Reihenfolge der Variablen ist dabei wieder x, y, z und zum Schluss die Konstante der rechten Seite

2 – 5 4 3

1 – 2 1 5

1 – 4 5 10

Durch Division der 1. Zeile durch 2 wird das Diagonalelement in der 1.Spalte zu 1 gemacht:

1 -2,5 2 1,5

1 – 2 1 5

1 – 4 5 10

Mit der 1. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 1. Spalte auf 0 gebracht.

Zur 2. Zeile wird dann das -1fache der 1. Zeile hinzuaddiert:

1 -2,5 2 1,5

0 0,5 – 1 3,5

1 – 4 5 10

Zur 3. Zeile wird nun das -1fache der 1. Zeile hinzuaddiert:

1 -2,5 2 1,5

0 0,5 – 1 3,5

0 -1,5 3 17/2

Nun noch Multiplikation der 2. Zeile mit 2. So wird das Diagonalelement zu 1 gemacht:

1 -2,5 2 1,5

0 1 – 2 7

0 -1,5 3 17/2

Mit der 2. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 2. Spalte auf 0 gebracht.

Zur 1. Zeile wird das 5/2fache der 2. Zeile hinzuaddiert:

1 0 – 3 19

0 1 – 2 7

0 -1,5 3 17/2

Zur 3. Zeile wird jetzt das 3/2fache der 2. Zeile hinzuaddiert:

1 0 – 3 19

0 1 – 2 7

0 0 0 19

In der 3. Zeile sind alle Koeffizienten 0. Das Gleichungssystem hat in einem solchen Fall keine Lösung. Denn würden wir die letzte Gleichung entnehmen, wäre 0x+0y+0z=19

also

0=19

Ein Widerspruch

LG Claudia

Mentorin FU

[Trinitie]

Hallo Claudia

Ich habe bei der o.g. Aufgabe auch meine Problemchen. Generell mit diesen Gleichungen und Pivotiersierungen bzw. Gaußschen Eliminationsverfahren.

Ich habe bei der Aufgabe 5 die sogenannte Kreisregel angewandt. Kam aber auch nicht auf das vorgegebene Ergebnis. Kann man die Kreisregel nicht überall anwenden?

Danke

[Claudia]

Hallo Trinitie,

Die Kreisregel kann man in diesen Fällen immer verwenden. Eventuell hast du dich verrechnet? Wenn du magst, poste doch mal bitte die Schritte, dann schauen wir gemeinsam, wo es hängt.

LG

Claudia

Mentorn FU

[Trinitie]

Hallo Claudia und vielen Dank

Also ich hab jetzt nochmal gerechnet und ich hatte wohl tatsächlich einen Rechenfehler.

Mein letzter Stand ist

1 0 -1 -14

0 1 2 11

0 0 0 -9

Nachdem ich vor dem letzten Pivotschritt schon 3 nullen hab ist die Gleichung also nicht lösbar? Versteh ich das jetzt richtig?

Vielen lieben Dank.

[Claudia]

Hallo Trinie,

Genau so ist es.

Nimm einfach mal die dritte Gleichung:

0x + 0y + 0z = -9

Egal, was du für x, y und z einsetzen wirst – diese Gleichung ist nie erfüllt. Du hast also einen Widerspruch hergeleitet, mit anderen Worten, du hast die drei Gleichungen so umgeformt, dass du zeigen konntest, dass es KEIN x,y und z gibt, so dass das LGS erfüllt ist.

OK? :)

Liebne Grüße!

Claudia

[Trinitie]

Ja super vielen Dank Claudia

Wenn die Kreisregel immer angewendet werden kann, dann hab ich meinen Lieblingslösungsweg gefunden, da es nun nach einigen Beispielen schon ganz gut von der Hand geht.

Vielen Dank nochmals

LG

[Autor]

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