Hallo Nadine, Hallo danibl
Fangen wir mit Aufgabe 3 an.
Wenn man einen Grenzwert berechnen soll, der aus einem Bruch besteht, "riecht" das immer schwer nach der Regel von de l´Hospital.
In A) sollen wir x gegen unendlich streben lassen. Da können wir mit de l´Hospital arbeiten (vgl. Folie 26 Vorlesung Analysis). Wichtig ist, dass e^x gegen unendlich strebt, wenn x gegen unendlich strebt. Genauso strebt (x^4 -2x^3 +x^2) gegen unendlich, wenn x gegen unendlich strebt. Dann gilt, dass lim e^x / (x^4 -2x^3 +x^2) = lim e^x / (4x^3 -2*3x^2 +2x). Wir haben einfach Zähler und Nenner abgeleitet. Allerdings hat sich der Zähler nicht verändert, da (e^x)´=e^x ist.
Nun sind wir eigentlich soweit wie vorhin. Immer noch können wir den Grenzwert lim e^x / (4x^3 -2*3x^2 +2x) nicht direkt angeben. Aber wir können nochmals die Regel von Hospital verwenden: Dann ist lim e^x / (12x^2 -2*3*2x^1 +2) = lim e^x / (12x^2 -12x +2)
Und nochmals wenden wir die Regel an:
lim e^x / (12x^2 -12x +2) = lim e^x / (24x -12)
und ein letztes Mal:
lim e^x / 24
Diesen Grenzwert können wir sofort angeben. Wenn x gegen unendlich strebt, strebt e^x gegen unendlich. A ist also richtig.
B) Diese Aufgabe war etwas schwerer. Hier kann man nämlich nicht (!) mit Hospital arbeiten. Denn der Zähler strebt gegen <strongt>Null, wenn man x gegen -unendlich streben lässt. Der Nenner jedoch strebt gegen unendlich, wenn x gegen -unendlich strebt. Versucht es einmal mit dem Taschenrechner nachzuvollziehen. EInfach einige Werte (negative!) für x einsetzen. Je kleiner x wird, umso eher geht e^x gegen Null. Das Nennerpolynom geht jedoch gegen unendlich. Was also nun tun?
Die allereinfachste Möglichkeit ist, sich zu überlegen, wie der Grenzwert sich verhält, wenn man einmal eine sehr große negative Zahl einsetzt. Nehmen wir etwa -1Mio.
e^x wird dann nahe Null sein, x^4-2x^3+x^2 wird sehr groß werden. Bilden wir den Quotienten, sind wir nahe Null. Versucht es einfach einmal. Taschenrechner ist ja in der Klausur erlaubt (für alle "Mathematiker": Hier gehts um verstehen und nicht um beweisen ;))
C) Auch hier hilft Hospital nicht weiter. Denn der Zähler ist e^1 und der Nenner ist 0, wenn x gegen 1 strebt. Was also tun?
Wieder versuchen wir es ganz einfach. Der Zähler strebt also gegen e^1, der Nenner gegen Null, also muss der Kehrwert gegen unendlich streben (zb: 1/0,0001 = 10000). Damit strebt der Quotient gegen unendlich, also ist C) richtig.
D) Diesen Grenzwert kann man einfach berechnen, indem man -1 einsetzt. e^-1 = 1/e
(-1)^4 -2*(-1)^3 +(-1)^2 = 1 - 2*(-1) +1 = 1+2+1 = 4
Damit ist also das Produkt gleich (1/e) /4 bzw. 1/(4e)
E) Auch hier klappt Hospital nicht, denn der Zähler strebt gegen 1 ( für x gegen Null) und der Nenner strebt gegen 0 (für x gegen Null).
Also versuchen wir es wieder logisch: Den Zähler können wir als 1 annehmen (weil e^0 =1). Der Nenner wird sehr klein, also wird der Kehrwert sehr groß. Damit ist der Grenzwert bei +unendlich und nicht etwa bei -unendlich wie vorgegeben. Die Aussage ist also falsch.
vor 9 Monate veröffentlicht
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